Astronomie

Dérivation de la formule pour la longitude du nœud ascendant pour un satellite

Dérivation de la formule pour la longitude du nœud ascendant pour un satellite

J'ai consulté le document IS-GPS-200H pour comprendre comment calculer l'emplacement du satellite dans les coordonnées ECEF.

J'ai du mal à comprendre la formule pour dériver $Omega$, la longitude du nœud ascendant (LAN) par rapport à Greenwich à un moment donné $t$ :

$$ Omega = Omega_0 + left( dot{Omega - w} ight) imes t_k - w imes t_{oe} $$

où : $$ Omega_0 : ext{LAN relatif à l'équinoxe de printemps, au début de la semaine} dot{Omega} : ext{vitesse angulaire pour le LAN, relative à l'équinoxe de printemps.} w : ext{vitesse angulaire de la terre, relative à l'équinoxe de printemps.} t_k : t - t_{oe} t_{oe} : ext{ephemeris reference epoch} $$ (et désignons le début de la semaine comme $t_0$ pour la brièveté).

Mais si j'essaie de résoudre ce problème à partir de zéro :

  1. À $t = t_0$, le réseau local était $Omega_0$. Mais comme ce dont nous avons vraiment besoin, c'est de la différence de LAN et de longitude de Greenwich, nous avons également besoin de connaître $w_0$, la longitude initiale de Greenwich à $t = t_0$. $$ Omega(t = t_0) = Omega_0 - w_0 $$
  2. À l'époque de référence des éphémérides $t = t_{oe}$, le LAN et la terre tournent tous les deux avec leur moment angulaire respectif et donc : $$ Omega(t = toe) = Omega_0 + w_0 + (dot{Omega } - w) imes t_{oe} $$
  3. Comme le temps varie de $toe$ à $t$, à nouveau LAN et la terre tournent tous les deux avec leur propre moment angulaire respectif et donc $$ Omega(t) = Omega_0 + w_0 + (dot{Omega} - w) imes t_{oe} + (dot{Omega} - w) imes t_k $$ qui diffère évidemment de la bonne formule par $w_0 + dot{Omega} imes t_{oe}$.

Ma question est où est-ce que je fais des erreurs/je comprends mal l'équation ? Expliquez également pourquoi nous n'avons pas besoin de connaître $w_0$ ou une entrée équivalente, ce serait grandement apprécié.


Je pense que tu n'es pas loin de comprendre la formule. Cependant, il vous manque quelques détails :

  1. D'après ce que je comprends du document auquel vous avez lié, $t_0 = t_{oe}$ est l'heure au début de la semaine, ou l'époque de référence.
  2. Lorsque vous calculez un angle à partir d'une vitesse angulaire, vous devez généralement le calculer par rapport à un angle initial et à un temps initial : lorsque la Terre et le satellite tournent entre $t_0$ et $t$, l'angle de rotation est de $ point{Omega}(t - t_0)$ ou $dot{Omega}_E(t - t_0)$.
    La seule exception à cette règle semble être la longitude initiale de Greenwich par rapport à l'équinoxe de printemps, qui semble être calculée à partir de $t = 0$.
  3. $w_0$, la longitude initiale de Greenwich par rapport à l'équinoxe de printemps, est $dot{Omega}_E t_{oe}$. D'après cette formule, il semble que le document considère une origine de temps $t = 0$ lorsque la longitude de Greenwich par rapport à l'équinoxe de printemps à ce moment est 0.

Pour résumer : la formule aurait été plus explicite et compréhensible sous la forme : $$ Omega(t) = Omega_0 - dot{Omega}_E t_{oe} + (dot{Omega} - dot{ Omega}_E)(t - t_{oe}) $$ avec :

  • $Omega_0$ = LAN par rapport à l'équinoxe de printemps à $t_{oe}$
  • $dot{Omega_E}$ = vitesse angulaire de la Terre par rapport à l'équinoxe de printemps
  • $-dot{Omega}_Et_{oe}$ = Longitude de Greenwich à $t_{oe}$
  • $dot{Omega}$ = vitesse angulaire du satellite par rapport à l'équinoxe de printemps
  • $(dot{Omega} - dot{Omega}_E)(t - t_{oe})$ = déplacement angulaire relatif entre le satellite et Greenwich, entre le temps $t$ et $t_{oe}$

Cela dit, cela semble être une très mauvaise pratique de nommer $Omega(t)$ la longitude par rapport à Greenwich et $dot{Omega}$ la vitesse angulaire par rapport à l'équinoxe de printemps. Cela cause pas mal de confusion, car mathématiquement parlant, pour toute fonction linéaire $f$, $f(t) = f(t_0) + dot{f} imes(t - t_0)$


Calcul de la longitude, de la latitude et de l'altitude à l'aide de RAAN, argument de périgée, etc.

Je suis relativement nouveau dans le domaine de la mécanique orbitale et je sais qu'il existe une tonne de ressources et de questions similaires sur le Web, mais je n'arrive pas à obtenir de réponse/d'orientation directe de la part de l'un d'entre eux.

J'ai un ensemble de données concernant un satellite particulier qui se compose des éléments suivants :

  1. Mouvement moyen
  2. Anomalie moyenne
  3. Argument de périgée
  4. Excentricité
  5. Inclination
  6. Ascension droite du nœud ascendant (RAAN) AKA Longitude du nœud ascendant

Ces données sont extraites à l'aide de la bibliothèque PyEphem. Ce que je voudrais calculer, c'est la longitude, la latitude et l'altitude du satellite à un moment donné. Je sais ce que signifie chaque paramètre mais je ne sais pas comment ils se rapportent à mes inconnues.

J'ai essayé de lire des articles, essayé plusieurs simulations et consulté de nombreux articles sur la conversion des éléments képlériens, mais je n'arrive toujours pas à comprendre comment relier les points. Les principales ressources que j'ai étudiées sont :

et j'ai également lu la plupart des questions connexes sur ce site Web. Serait-il plus facile d'utiliser des données de suivi en temps réel au lieu d'utiliser TLE pour prédire mon inconnue ?


Effet de la traînée atmosphérique sur les orbites des satellites artificiels

où est la densité de masse de l'atmosphère (à la position du satellite), le coefficient de traînée , la section transversale du satellite perpendiculairement à sa direction de mouvement, la masse du satellite et la vitesse du satellite. On peut voir que la force est proportionnelle au carré de la vitesse du satellite et est dirigée de manière opposée à sa direction instantanée de mouvement (c'est-à-dire que la force constitue une traînée). Le coefficient de traînée est une constante sans dimension de l'unité d'ordre qui dépend principalement de la forme du satellite. Pour le cas d'un satellite sphérique, (Cook 1965).

La distribution de la densité de l'atmosphère terrestre est commodément modélisée comme (de Pater et Lissauer 2010)

où mesure la distance radiale du centre de la Terre, est le rayon terrestre, la densité atmosphérique au niveau du sol (c'est-à-dire ) et la hauteur de l'échelle atmosphérique . Évidemment, la formule précédente n'est valable que lorsque .

En supposant que la force de traînée atmosphérique, (10.130), est faible par rapport à la force d'attraction gravitationnelle entre la Terre et le satellite - et peut donc être traitée comme une perturbation - l'orbite du satellite peut être modélisée comme une ellipse képlérienne dont six éléments évoluent lentement dans le temps sous l'influence de la traînée. Soit , , des coordonnées cylindriques dans un repère aligné avec le plan orbital instantané du satellite, comme décrit dans la section I.1. Voici la véritable anomalie du satellite. (Voir Section 4.11.) En utilisant l'analyse de l'Annexe I, nous pouvons écrire

Ici, , , , et sont respectivement le grand rayon orbital, l'excentricité, le moment angulaire par unité de masse et l'anomalie excentrique du satellite. (Voir Section 4.11.) De plus, , où est la masse terrestre. Il résulte des équations précédentes que

Comme cela a déjà été mentionné, l'orbite instantanée du satellite est une ellipse képlérienne caractérisée par six éléments orbitaux, que nous choisissons comme étant le rayon majeur, , l'anomalie moyenne à l'époque, , l'excentricité, , l'argument du périgée, , l'inclinaison (au plan équatorial de la Terre), , et la longitude du nœud ascendant (mesurée par rapport à l'équinoxe de printemps), . (Voir Section 4.12.) Ces éléments évoluent lentement dans le temps, sous l'influence de la force de traînée atmosphérique. Pour le cas d'espèce, cette évolution temporelle est plus commodément spécifiée en termes des équations planétaires de Gauss , qui prennent la forme (voir Annexe I)

Étant donné que (voir Section 4.11 et Exercice 16)

les équations planétaires de Gauss peuvent être combinées avec les équations (10.137)-(10.139) pour donner

Ici, est la vitesse angulaire orbitale moyenne non perturbée. Il apparaît immédiatement que la force de traînée atmosphérique n'entraîne aucune modification de l'inclinaison du plan orbital du satellite (car et sont tous deux constants). Ce n'est pas surprenant, car la force de traînée n'a pas de composante normale à ce plan (c'est-à-dire ).

Comme expliqué précédemment, nous travaillons dans la limite où la force de traînée atmosphérique est perturbatrice. Cette limite nécessite que les changements relatifs des éléments orbitaux du satellite induits par la traînée dans une période orbitale, , soient tous petits. Il ressort des équations (10.148)-(10.151) que c'est le cas prévu en d'autres termes, tant que la masse d'air rencontrée par le satellite sur une seule orbite, qui est , est bien inférieure à la masse du satellite. En supposant que nous soyons dans la limite perturbative (i.e., ), l'évolution des éléments orbitaux du satellite se déroule sur une échelle de temps beaucoup plus longue que sa période orbitale. Nous pouvons nous concentrer sur cette évolution, et filtrer les éventuelles oscillations à relativement court terme dans les éléments, en faisant la moyenne des expressions (10.148)-(10.151) sur une période orbitale. Un opérateur de moyenne en orbite approprié est

Ici, nous avons utilisé le fait que , et , pour une orbite képlérienne. (Voir Section 4.11.) Ainsi, on en déduit que

Il s'ensuit que la force de traînée atmosphérique fait que le rayon principal et l'excentricité de l'orbite du satellite se désintègrent de façon monotone dans le temps [parce que les membres de droite des équations (10.155) et (10.156) sont tous deux négatifs]. Par contre, la force ne produit aucune précession dans le périgée de l'orbite (car ). De plus, le fait que cela implique que la force de traînée ne modifie pas le résultat képlérien que la vitesse angulaire orbitale moyenne est . Or, il est facile de démontrer (voir exercice 4) que l'énergie cinétique moyenne en orbite du satellite est


1 réponse 1

La propriété particulière des satellites héliosynchrones est la précession, à un rythme égal à la période orbitale de la Terre autour du Soleil (1 an). Cela signifie que le RAAN du satellite dérive de 360 ​​degrés au cours de l'année et, par conséquent, l'heure solaire locale au moment de la traversée de l'équateur reste constante.

si le satellite est injecté un autre jour à partir du même site de lancement, le RAAN serait différent. L'heure locale souhaitée est toujours atteinte.

Non - le RAAN ne serait pas différent. Les deux valeurs RAAN à partir des moments d'injections respectives le ferait, mais si vous voulez que le deuxième satellite atteigne la même heure solaire que le premier, votre RAAN d'injection doit être égal au RAAN du premier satellite au moment de la deuxième injection - significativement différent de ce qu'il était à son propre moment d'injection, ayant dérivé vers la nouvelle valeur avec précession depuis.

Sur la photo ci-dessous, deux orbites héliosynchrones (ou à peu près. ) ne diffèrent que par les valeurs d'ascension droite des nœuds ascendants - de 90 degrés. Cette image reste "vraie" - inchangée - quelle que soit l'heure de la journée ou la période de l'année. Il y a le côté ensoleillé et le côté nuit, et un satellite passe l'équateur céleste à midi et à minuit, l'autre - au lever et au coucher du soleil (6h, 18h) - quel que soit le pays ou l'océan qui se trouve en dessous à ce moment-là, et peu importe de date.

SI la date était le 20 mars, le jour de l'équinoxe de printemps, alors le RAAN du premier satellite serait 0, deuxième - 90 degrés. À n'importe quel autre jour, l'angle sera différent - à l'équinoxe d'automne, ces valeurs seront respectivement de 180 et 270 degrés. C'est parce que le côté ensoleillé de la Terre sera orienté exactement dans la direction opposée de l'univers, étant de l'autre côté du Soleil. Mais les orbites resteront dans leur orientation par rapport à la direction du Soleil et de la ligne de terminaison.


Deux éléments de ligne [ modifier ]

Les paramètres des éléments Keplerian peuvent être encodés sous forme de texte dans un certain nombre de formats. Le plus commun d'entre eux est le NASA/NORAD "éléments à deux lignes"(TLE) format[1] , conçu à l'origine pour être utilisé avec des cartes perforées à 80 colonnes, mais toujours utilisé car il s'agit du format le plus courant et qui fonctionne aussi bien que tout autre.
Les TLE de plus de 30 jours deviennent considérablement inexacts. Les positions et hauteurs orbitales peuvent être calculées à partir des TLE via les algorithmes SGP/SGP4/SDP4/SGP8/SDP8.

  • Supplément explicatif à l'almanach astronomique. 1992. K.P. Seidelmann, Ed., University Science Books, Mill Valley, Californie.

Hoe calculez-vous les points d'intersection de deux plans d'orbite? (a/n d/n dans la vue carte) ?

Comme le dit le titre. Lorsque vous sélectionnez une cible, dans la vue cartographique se trouvent les nœuds ascendants et descendants des croisements du plan de l'orbite. Comment les calculez-vous ?

Je n'ai pas autant besoin de code qu'un " que vous devez connaître/utiliser cette maths .. puis utilisez cette équation " sorte de chose.

Tout d'abord, rappelez-vous que l'intersection de deux plans est une ligne, pas un point. (Je ne dis pas que vous ne le saviez pas déjà, mais s'en souvenir aide à garder l'image correcte dans votre tête pour ce qu'est le problème mathématique réel.)

Une façon de définir une ligne est de donner un vecteur pour son orientation, plus tout point par lequel la ligne passe pour fixer sa position. Le point d'origine (queue) du vecteur fonctionne bien pour cela.

Alors, comment trouver cette ligne étant donné deux plans ?

Eh bien d'abord, comment définissez-vous un avion alors? Vous le définissez comme un point sur le plan combiné avec un vecteur normal au plan.

Dans le cas des plans de deux orbites autour du même corps, vous pouvez le simplifier en réalisant qu'ils doivent partager le centre de la planète ou de la lune qu'ils orbitent comme un point commun entre eux, vous pouvez donc penser en termes de cadre de référence où ils mettent tous les deux le point d'origine au centre du corps, et vous n'avez alors qu'à vous soucier de leurs vecteurs normaux.

Et que vous pouvez trouver assez facilement pour un objet en orbite. Prenez la vitesse actuelle de l'objet et sa position actuelle depuis le centre de la planète (ou de la lune). Ce sont deux vecteurs qui sont dans son plan d'orbite. Eh bien, si vous prenez deux vecteurs qui sont tous les deux dans un plan (et ne sont pas parallèles l'un à l'autre) et que vous les produitz ensemble, alors le vecteur résultant doit être perpendiculaire à ce plan, c'est-à-dire un vecteur normal au plan. (La raison pour laquelle cela ne fonctionne pas s'ils sont parallèles est que votre produit croisé a une magnitude de zéro et donc aucune direction réelle avec laquelle travailler. Ce ne serait le cas que si vous tombiez directement vers le centre de la planète. Comme tant que ce n'est pas le cas, alors l'élément vitesse: orbite et sa position par rapport au centre du corps (élément: position - élément: corps: position) formeront toujours deux vecteurs non parallèles dans son plan d'orbite que vous pouvez utiliser pour ce produit croisé pour obtenir une normale au plan de l'orbite.)

D'accord, donc en utilisant les deux éléments en orbite, vous pouvez trouver des vecteurs normaux à leurs plans d'orbite de cette façon.

Eh bien, une fois que vous avez ces deux vecteurs normaux, si vous les produitz ensuite ensemble, le vecteur résultant de CELA doit pointer parallèlement à la ligne que les deux plans partagent (car il doit être perpendiculaire aux deux plans d'orbite & normales , ce qui signifie qu'il doit être contenu dans les deux plans d'orbite).

Ainsi, vous avez maintenant les données pour vous donner cette ligne d'intersection. Vous savez que la ligne où les deux plans se croisent peut être trouvée comme la ligne qui passe par le centre du corps et le long du vecteur que vous obtenez en faisant un produit croisé de leurs deux vecteurs normaux.

Maintenant, trouver le POINT le long de votre orbite où vous atteignez cette ligne est un peu plus difficile, mais je vais m'arrêter là pour l'instant, en espérant que cela vous donne ce dont vous avez besoin.


Détermination d'orbite autonome pour une constellation hybride

Un nouveau schéma de détermination d'orbite ciblant les satellites de communication et de télédétection dans une constellation hybride est étudié dans cet article. Nous concevons d'abord une telle constellation hybride avec une configuration à deux couches (LEO/MEO) en optimisant la couverture et le cycle de revisite. L'idée principale du schéma est d'utiliser une combinaison d'images, de données altimétriques et de données de distance intersatellite comme mesures et de déterminer les orbites des satellites de la constellation hybride à l'aide du filtre de Kalman étendu (EKF). Les performances du nouveau schéma sont analysées avec des simulations Monte Carlo. Nous nous concentrons d'abord sur un satellite de télédétection individuel et avons comparé les performances de détermination d'orbite en utilisant uniquement l'imagerie avec son homologue utilisant à la fois l'imagerie et les mesures altimétriques. Les résultats montrent que les performances s'améliorent lorsque l'imagerie est utilisée avec des données altimétriques pointant vers des sites d'étalonnage de géomètres, mais diminuent lorsqu'elles sont utilisées avec des données altimétriques océaniques. Nous étendons ensuite l'enquête à l'ensemble de la constellation. Lorsque des données de distance intersatellites sont ajoutées, les orbites de tous les satellites de la constellation hybride peuvent être déterminées de manière autonome. Nous constatons que la combinaison des données de distance inter-satellites avec des observations de télédétection conduit à une nouvelle amélioration de la précision de la détermination de l'orbite pour les satellites LEO. Nos résultats montrent également que les performances du schéma seraient affectées lorsque les observations de télédétection sur certains satellites sont absentes.

1. Introduction

Une constellation hybride fait référence à un groupe de satellites à différents régimes orbitaux travaillant de concert. Un exemple bien connu est la constellation de satellites de navigation BEIDOU de Chine. Le concept de constellation hybride apparaît couramment dans les études sur la conception et l'optimisation des constellations de navigation [1, 2]. Il a également été introduit dans les domaines de la communication par satellite et de la télédétection [3, 4], et Fahnestock et Erwin [5] ont présenté une sorte de constellation hybride pour répondre aux exigences de connaissance de la situation spatiale. Cependant, peu de recherches tentent de concevoir une constellation hybride comme une constellation multifonctionnelle.

À l'heure actuelle, la détermination de l'orbite des satellites dépend fortement des stations terriennes et des constellations de navigation (par exemple, la constellation GPS). Afin de réduire les coûts de maintenance de ces systèmes et d'améliorer la capacité de survie des satellites en cas d'urgence, des méthodes de détermination d'orbite autonome qui dépendent des instruments à bord ont été proposées. Certains de ces travaux se concentrent sur la détermination d'orbite autonome basée soit sur l'imagerie optique, soit sur des données altimétriques ou sur des données de distance inter-satellites. Blanc et al. [6] ont utilisé des mesures de ligne de visée (LOS) d'étoiles et de points de repère pour estimer l'attitude et l'orbite des satellites. Straub et Christian [7] ont utilisé des observations des côtes à la surface de la Terre comme données d'entrée pour déterminer de manière autonome les orbites des satellites d'observation de la Terre avec différentes inclinaisons et altitudes d'orbite. Li, Xu et Zhang [8] ont proposé un schéma utilisant des images d'objets au sol et analysé l'influence de la résolution de l'image, de la précision de pointage et des contraintes d'éclairage sur les performances de détermination de l'orbite. À la suite de cette étude, Li et Xu [9] ont présenté un schéma de détermination de l'orbite et de l'attitude (OAD) utilisant des images de points de repère au sol de forme régulière pour surmonter les inconvénients en utilisant des caractéristiques de points au sol. En tant qu'autre mesure de haute précision, l'altimètre peut fournir des informations d'altitude très précises qui aident à améliorer efficacement la précision de la détermination de l'orbite. Born et al. [10] ont déterminé l'orbite du satellite N-ROSS en utilisant les résidus d'arc de croisement altimétriques entre les orbites TOPEX et N-ROSS et ont démontré qu'une précision radiale submétrique peut être atteinte. Lemoine et al. [11] ont montré que les données de croisement altimétriques peuvent modifier considérablement le champ de gravité et améliorer la précision de l'orbite radiale du POD à 4-5 cm pour le vaisseau spatial GEOSAT Follow-On lorsqu'elles sont utilisées en combinaison avec des données SLR. Pour les satellites des constellations, des liaisons intersatellites peuvent être établies et des observations de pseudo-distance de ces liaisons peuvent être utilisées pour la détermination de l'orbite. Markley et Naval [12] ont étudié les performances de détermination d'orbite à l'aide de points de repère et de données intersatellites. Psiaki [13] a proposé un système de détermination d'orbite autonome basé sur la mesure de la position relative d'une paire de satellites et a analysé l'observabilité et la précision de l'estimation de l'orbite du système. Li et al. [14] ont vérifié la possibilité de réduire les erreurs résultant de la rotation de la constellation en utilisant des caméras pour obtenir la direction entre les satellites. Kai et al. [15] ont évalué les performances d'un système de navigation qui utilise des mesures de relèvement relatives à partir de capteurs d'étoiles de navigation combinées à des mesures de distance relative à partir de liaisons intersatellites. En outre, Kai et al. [16] ont introduit un schéma utilisant les mesures de différence de temps d'arrivée (TDOA) sur les pulsars à rayons X et les mesures de distance inter-satellites pour déterminer la position absolue des satellites. Wang et Cui [17] ont également réalisé une navigation autonome en utilisant les pulsars à rayons X et des mesures de distance inter-satellites pour les obiters de Mars.

Dans cet article, contrairement aux études précédentes sur les constellations hybrides qui se concentrent sur la satisfaction d'une exigence spécifique de communication, de navigation ou de télédétection, une constellation hybride contenant deux couches (MEO/LEO) a été proposée pour répondre à la fois aux exigences de la communication par satellite et de la télédétection. . Les satellites de la couche LEO avec caméras optiques et altimètres embarqués sont conçus pour l'observation de la Terre, et la couche MEO est conçue en combinaison avec la couche LEO pour être une constellation de communication. Pour la constellation hybride, un nouveau schéma de détermination d'orbite est proposé. Sans autres données d'observation externes à la constellation, seules l'imagerie optique et les données altimétriques peuvent être utilisées comme observations de haute précision pour la détermination autonome de l'orbite des satellites LEO. Deux modèles d'utilisation sont considérés pour les données altimétriques. L'un est les données altimétriques océaniques générées avec des altimètres à pointage nadir. L'autre est les données de distance générées avec des altimètres pointant vers les sites d'étalonnage des géomètres qui peuvent être capturés et reconnus par les systèmes de caméras. Lorsque les données de distance intersatellites sont prises en compte, les orbites des satellites de la couche MEO peuvent également être déterminées, ce qui à son tour a un effet sur les satellites de la couche LEO. En conséquence, une détermination autonome de l'orbite de la constellation contenant des satellites de communication et des satellites de télédétection peut être réalisée.

Dans une telle constellation, les performances de la détermination d'orbite autonome à l'aide d'images optiques, de données altimétriques et de données de distance inter-satellites sont évaluées. Pour la détermination de l'orbite basée sur les données altimétriques, l'influence de différents modèles d'utilisation sur la précision de l'orbite est comparée. Pour la détermination de l'orbite à l'aide des trois données d'observation, la performance est également évaluée dans le cas où certaines observations de télédétection sont absentes.

À cette fin, le reste de cet article est organisé comme suit : la section 2 présente la constellation hybride optimale. Dans la section 3, une description détaillée de l'algorithme de détermination d'orbite est donnée, y compris le modèle dynamique, le modèle de mesure et le modèle de filtre. Pour différentes données d'observation, des simulations de détermination d'orbite et une analyse des performances sont présentées dans la section 4. Enfin, quelques brèves conclusions et discussions sont fournies dans la section 5.

2. Conception de constellation hybride

Dans cette section, une constellation hybride composée de satellites à deux couches MEO/LEO est proposée. La couche LEO est conçue pour mettre en œuvre une mission d'observation optique de la Terre. En outre, la couche LEO coopérant avec la couche MEO peut fournir une couverture de communication régionale continue. Compte tenu des caractéristiques d'orbite de la constellation hybride et des contraintes associées, une procédure de conception efficace est présentée ci-dessous.

2.1. Couche LEO

Pour assurer l'exactitude des données obtenues, les satellites effectuant des missions d'observation de la Terre sont principalement placés sur LEO. Dans le document, la couche LEO est conçue comme une constellation de télédétection satisfaisant les exigences de couverture et de cycle de revisite. Étant donné que les satellites placés sur orbite héliosynchrone passent au-dessus d'un point sous-satellite donné à une heure solaire locale fixe, l'orbite héliosynchrone est appropriée pour les satellites d'observation de la Terre et satisfait la forme adimensionnelle [18] :


Dynamique spatiale

L'activité spatiale dans le monde est l'une des réalisations les plus importantes de l'humanité. Il rend possible les communications en direct, l'exploration des ressources de la Terre, les prévisions météorologiques, le positionnement précis et plusieurs autres tâches qui font partie de notre vie aujourd'hui.

La dynamique spatiale joue un rôle très important dans ces développements, puisque son étude nous permet de planifier comment lancer et contrôler un véhicule spatial afin d'obtenir les résultats dont nous avons besoin.

Ce domaine considère l'étude de la mécanique céleste et du contrôle appliqué aux engins spatiaux et aux objets naturels. Les tâches principales sont de déterminer l'orbite et l'attitude de l'engin spatial sur la base de certaines observations, d'obtenir sa position et son attitude dans l'espace dans un temps donné à partir de certaines conditions initiales, de trouver la meilleure façon de modifier leurs orbites et leur attitude, d'analyser comment utiliser les informations des satellites pour trouver la position et la vitesse d'un point donné (par exemple, un récepteur personnel, un satellite ou une voiture), etc.

Ce domaine d'étude vient de l'Astronomie. Les principaux contributeurs du passé ont des noms importants comme Johannes Kepler (1571-1630) et Isaac Newton (1642-1727). Sur la base des observations du mouvement des planètes réalisées par Tycho Brahe (1546-1601), Kepler a formulé les trois lois fondamentales qui régissent le mouvement des planètes autour du Soleil. À partir de ces lois, Newton a formulé la loi universelle de la gravitation. Selon cette loi, la masse attire la masse dans un rapport proportionnel au produit des deux masses impliquées et inversement proportionnel au carré de la distance qui les sépare. Ces lois sont les bases scientifiques de l'ère de l'exploration spatiale qui commence officiellement avec le lancement du satellite Spoutnik en 1957 par l'ex-Union soviétique. Depuis lors, une forte bataille entre les États-Unis d'Amérique (USA) et l'Union soviétique a eu lieu menant à de nombreuses réalisations dans l'espace. L'un des résultats les plus importants a été l'atterrissage de l'homme sur la Lune, réalisé par les États-Unis en 1969. À partir de ce moment, plusieurs applications différentes de la recherche spatiale ont été développées, changeant pour une meilleure vie humaine sur Terre.

Dans cette optique, ce numéro spécial de Mathematical Problems in Engineering se concentre sur les avancées récentes des techniques de dynamique spatiale. Il compte un total de 21 articles qui sont brièvement décrits ci-dessous.

Quatre d'entre eux concernent le mouvement d'attitude, le contrôle et la détermination. Contrôle d'attitude Optimal On-Off pour le satellite de la plate-forme multimission brésilienne par G. Arantes Jr. et al. est le premier. Ce travail porte sur l'analyse et la conception du contrôle d'attitude du propulseur à réaction pour le satellite brésilien de la plate-forme multi-missions. L'objectif de ce travail est de fournir un contrôle plus fluide pour des exigences de pointage améliorées avec moins d'activation du propulseur ou de consommation de propergol. Le carburant est un facteur décisif de la durée de vie de l'engin spatial et une réduction de la consommation de propergol est hautement requise, en particulier en ce qui concerne un engin spatial multimissions dans lequel différentes charges utiles sont envisagées. Le contrôle d'attitude à trois axes est pris en compte et il est activé en mode impulsion. Par conséquent, une modulation de la commande de couple est impérative afin d'éviter une action de commande non linéaire élevée. L'article considère le modulateur Pulse-Width Pulse-Frequency (PWPF), composé d'un déclencheur de Schmidt, d'un filtre du premier ordre et d'une boucle de rétroaction. Ce modulateur présente plusieurs avantages par rapport aux contrôleurs bang-bang classiques, tels que des opérations proches des linéaires, une grande précision et une consommation réduite de propergol. La technique Linear Gaussian Quadratic (LQG) est utilisée pour synthétiser la loi de commande pendant le mode de stabilisation et le modulateur est utilisé pour moduler le signal de commande continu en un signal discret. Les résultats des simulations numériques montrent que le système de contrôle d'attitude de réaction du propulseur obtenu, basé sur la modulation LQG/PWPF, est optimal en ce qui concerne la minimisation de la fonction de coût quadratique des états et des signaux de commande et de la consommation de propergol. L'article présente un ensemble de paramètres optimaux pour le modulateur PWPF en considérant l'analyse statique et dynamique. Les résultats obtenus démontrent la faisabilité de combiner le modulateur LQG/PWPF dans un contrôleur unique pour le système de contrôle d'attitude de réaction de propulseur on-off. La stabilité reste en ajoutant le modulateur PWPF et une précision d'attitude raisonnable est obtenue. Les aspects pratiques sont inclus dans cette étude comme le filtrage et la présence de perturbations impulsives externes. Les avantages d'une moindre consommation d'ergols contribueront au projet de plate-forme multi-missions brésilienne, en particulier un satellite conçu pour être utilisé sur un grand nombre et différents types de missions, dans le contexte d'un programme spatial brésilien en constante évolution.

Le deuxième article sur ce sujet est Highly Efficient Sigma Point Filter for Spacecraft Attitude and Rate Estimation par C. Fan et Z. You. Dans cet article, pour le problème de détermination d'attitude de vaisseau spatial, le filtre de Kalman étendu multiplicatif MEKF et d'autres algorithmes similaires, ont été de bonnes solutions pour la plupart des missions spatiales nominales. Cependant, de nos jours, en raison de leur surcharge de complexité de calcul, ils sont prohibitifs pour une implémentation réelle à bord. Dans cet article, les auteurs présentent un nouvel algorithme assez compétitif, avec une complexité de calcul significativement inférieure, même par rapport aux algorithmes de point sigma réduits. La précision est la même que celle des filtres Kalman traditionnels non parfumés. En termes d'efficacité, l'algorithme proposé rivalise avec MEKF, même dans des situations sévères.

Le suivant est Spin-Stabilisized Spacecraft: Analytical Attitude Propagation Using Magnetic Torques de R. V. Garcia et al.. Cet article examine le problème de l'obtention de l'attitude d'un satellite dans un temps donné sur la base d'informations d'un temps antérieur. Il analyse le mouvement de rotation d'un satellite artificiel terrestre stabilisé en rotation. Il fait la dérivation d'une prédiction d'attitude analytique. Une attention particulière est accordée aux couples, qui proviennent des perturbations résiduelles magnétiques et des courants de Foucault, ainsi qu'à leurs influences sur la vitesse angulaire et l'orientation spatiale du satellite. Un système coordonné sphérique, fixé dans le satellite, permet de localiser l'axe de rotation du satellite par rapport au système équatorial terrestre.

Le dernier article de ce sujet est Using of H-Infinity Control Method in Attitude Control System of Rigid-Flexible Satellite par X. C. M. Cubillos et L. C. G. Souza. Cet article considère les systèmes de contrôle d'attitude des satellites avec des composants rigides et flexibles. Dans les missions spatiales actuelles, ce problème demande une meilleure performance, ce qui implique le développement de plusieurs méthodes pour aborder ce problème. Pour cette raison, les méthodes disponibles aujourd'hui nécessitent plus d'investigations afin de connaître leurs capacités et leurs limites. Par conséquent, dans cet article, la méthode H-Infinity est étudiée en termes de performance du système de contrôle d'attitude d'un satellite rigide-flexible.

Il y avait quatre articles étudiant le problème de trouver des trajectoires spatiales. Le premier est la théorie analytique du problème de Hill à l'ordre quatre : application au calcul des orbites gelées autour des satellites planétaires par M. Lara et J. F. Palacián. Dans cet article, des applications au calcul d'orbites gelées autour de satellites planétaires sont faites. Le problème de Hill, un modèle simplifié du problème restreint à trois corps, donne également une très bonne approximation de la dynamique impliquant le mouvement des satellites naturels et artificiels, des lunes, des astéroïdes et des comètes. Frozen orbits in the Hill problem are determined through the double averaged problem. The developed method provides the explicit equations of the transformation connecting averaged and non averaged models, making the computation of the frozen orbits straightforward.

The second one covering this topic is Collision and Stable Regions around Bodies with Simple Geometric Shape by A. A. Silva et al.. Collision and stable regions around bodies with simple geometric shape are studied. The gravitational potential of two simple geometric shapes, square and triangular plates, were obtained in order to study the orbital motion of a particle around them. Collision and stable regions were also derived from the well known Poincaré surface of section. These results can be applied to a particle in orbit around an irregular body, such as an asteroid or a comet.

The next paper is Dynamical Aspects of an Equilateral Restricted Four-Body Problem by M. Álvarez-Ramírez and C. Vidal. It is an immediate extension of the classical restricted three body problem (ERFBP): a particle is under the attraction of three nonzero masses (

) which move on circular orbits around their center of mass, fixed at the origin of the coordinate system in a such way that their configuration is always an equilateral triangle. In particular, it is assumed

. In a synodical system, a first integral of the problem is obtained. Using Hamiltonian formalism the authors define Hill’s regions. Equilibrium solutions are obtained for different cases and the number of them depends on the values of the masses. The Lyapunov stability of these solutions is studied in the symmetrical case assuming

. Under certain conditions and for very small , circular and elliptic keplerian periodic solutions can be continued to ERFBP. Pour

, Lyapunov Central theorem can provide a one-parameter family of periodic orbits. Some numerical applications are also shown.

The last one in this category is Nonsphericity of the Moon and Near Sun-Synchronous Polar Lunar Orbits by J. P. S. Carvalho et al.. Here, the dynamics of a lunar artificial satellite perturbed by the nonuniform distribution of mass of the Moon taking into account the oblateness (J2) and the equatorial ellipticity (sectorial term C22) is presented. A canonical perturbation method based on Lie-Hori algorithm is used to obtain the second order solutions. A study is performed for the critical inclination and the effect of the coupling terms J2 and C22 are presented. A new second order formula is obtained for the critical inclination as a function of the argument of the pericenter and of the longitude of the ascending node. In the same way, for Lunar Sun-synchronous and Near-Polar Orbits, a new formula is obtained to provide the value of the inclination. This formula depends on the semi-major axis, eccentricity and the longitude of the ascending node. For Lunar low altitude satellites, the authors call the attention for the importance of the additional harmonics J3, J5, and C31, besides J2 and C22. In particular they mention that, for small inclinations, some contributions of the second order terms can become as large as the first order terms. Several numerical simulations are presented to illustrate the time variation of the eccentricity and inclination.

After that, there are five papers considering the problem of localization with information obtained from space, in particular using GPS and/or GLONASS constellations. The first paper of this topic is GPS Satellites Orbits: Resonance by L. D. D. Ferreira and R. V. Moraes. In this paper, the effects of the perturbations due to resonant geopotential harmonics on the semi major axis of GPS satellites are analyzed. The results show that it is possible to obtain secular perturbations of about 4m/day using numerical integration of the Lagrange planetary equations and considering, in the disturbing potential, the main secular resonant coefficients. The paper also shows the amplitudes for the long period terms due to the resonant coefficients for some hypothetical satellites orbiting in the neighborhood of the GPS satellites orbits. The results can be used to perform orbital maneuvers of the GPS satellites to keep them in their nominal orbits.

The second paper is Some Initial Conditions for Disposed Satellites of the Systems GPS and Galileo Constellations by D. M. Sanchez et al.. In this paper the stability of the disposed objects of the GPS and Galileo systems can be affected by the increasing in their eccentricities due to strong resonances. A search for initial conditions where the disposed objects remain at least 250 years, without crossing the orbits of the operational satellites, was performed. As a result, regions where the values of the eccentricity prevent possible risk of collisions have been identified in the phase space. The results also show that the initial inclination of the Moon plays an important role in searching these initial conditions.

Then, we have Quality of TEC Estimated with Mod Ion Using GPS and GLONASS Data by P. O. Camargo. The largest source of error in positioning and navigation with the Global Navigation Satellite System (GNSS) is the ionosphere, which depends on the Total Electron Content (TEC). The quality of the TEC was analyzed taking into account the ModIon model developed in UNESP-Brazil the more appropriate model to be used in the South America region.

After that, we have the paper The Impact on Geographic Location Accuracy due to Different Satellite Orbit Ephemeredes by C. C. Celestino et al.. Here, it is assumed that there are several satellites, hundreds of Data Collection Platforms (DCPs) deployed on ground (fixed or mobile) of a large country (e.g. Brazil), and also some ground reception stations. It considers the question of obtaining the geographic location of these DCPs. In this work, the impact on the geographic location accuracy, when using orbit ephemeris obtained through several sources, is assessed. First, by this evaluation is performed by computer simulation of the Doppler data, corresponding to real existing satellite passes. Then, real Doppler data are used to assess the performance of the location system. The results indicate that the use of precise ephemeris can improve the performance of the calculations involved in this process by reducing the location errors. This conclusion can then be extended to similar location systems.

There is also the paper Simulations under Ideal and Non ideal Conditions for Characterization of a Passive Doppler Geographical Location System Using Extension of Data Reception Network by C. T. Sousa et al.. It presents a Data Reception Network (DRN) software investigation to characterize the passive Doppler Geographical Location (GEOLOC) software. The test scenario is composed by Brazilian Data Collection Satellite (SCD2) and the National Oceanic Atmospheric Administration satellite (NOAA-17) passes, a single Data Collecting Platform (DPC) and five ground received stations. The Doppler measurements data of a single satellite pass over a DCP, considering a network of ground reception stations, is the rule of the DNR. The DNR uses an ordering selection method that merges the collected Doppler shift measurements through the stations network in a single file. The pre-processed and analyzed measurement encompasses the DCP signal transmission time and the Doppler shifted signal frequency received on board of the satellite. Thus, the assembly to a single file of the measurements collected, considering a given satellite pass, will contain more information about the full Doppler effect behavior while decreasing the amount of measurement losses, as a consequence, an extended visibility between the relay satellite and the reception stations. The results and analyses were firstly obtained considering the ground stations separately, to characterize their effects in the geographical location result. Six conditions were investigated: ideal simulated conditions, random and bias errors in the Doppler measurements, errors in the satellites ephemeris and errors in the time stamp. To investigate the DNR importance to get more accurate locations, an analysis was performed considering the random errors of 1 HZ in the Doppler measurements. The results show that the developed GEOLOC is operating appropriately under the ideal conditions. The inclusion of biased errors degrades the location results more than the random errors. The random errors are filtered out by the least squares algorithm and they produce mean locations results that tend to zero error, mainly for high sampling rate. The simulations results, considering biased errors, yield errors that degrade the location for high and low sampling rates. The simulation results for ephemeredes error shows that it is fundamental to minimize them, because the location system cannot compensate these errors. The satellites ephemeredes errors are approximately similar in magnitude to their resulting transmitter location errors. The simulations results, using the DRN algorithm, show that to improve the locations results quality it would be necessary to have more Reception Stations spread over the Brazilian territory, to obtain additional amount of data. Then, on the other hand, it improves the geometrical coverage between satellite and DCPs, and better recovers the full Doppler curves, yielding, as a consequence, more valid and improved locations.

A similar problem, but concerned with the determination of an orbit of a satellite, is considered in A Discussion Related to Orbit Determination Using Nonlinear Sigma Point Kalman Filter by P. C. P. M. Pardal et al.. The goal of this work is to present a Kalman filter based on the sigma point unscented transformation, aiming at real-time satellite orbit determination using GPS measurements. Firstly, some underlying material is briefly presented before introducing SPKF (sigma point Kalman filter) and the basic idea of the unscented transformation in which this filter is based. Through the paper, the formulation about orbit determination via GPS, dynamic and observation models and unmodeled acceleration estimation are presented. The SPKF is investigated in many different applications and the results are discussed. The advantages indicate that SPKF can be used as an emerging estimation algorithm to nonlinear system.

Orbital maneuvers for space vehicles are also considered in three papers, as in Orbital Dynamics of a Simple Solar Photon Thruster by A. D. Guerman et al.. This paper studies the orbital dynamics and control for two systems of solar propulsion, a flat solar sail (FSS) and a simple solar photon thruster (SPT). The use of solar pressure to create propulsion can minimize the spacecraft on-board energy consumption during the mission. Modern materials and technologies made this propulsion scheme feasible, and many projects of solar sail are now under development, making the solar sail dynamics the subject of numerous studies. To perform the analysis presented in this paper, the equations of the sailcraft’s motion are deduced. Comparisons for the performance of two schemes of solar propulsion (Simple Solar Photon Thruster—SSPT and Dual Reflection Solar Photon Thruster—DRSPT) are shown for two test time-optimal control problems of trajectory transfer (Earth-Mars transfer and Earth-Venus transfer). The mathematical model for the force acting on SSPT due to the solar radiation pressure takes into account multiple reflections of the light flux on the sailcraft elements. In this analysis it is assumed that the solar radiation pressure follows inverse-square variation law, the only gravitational field is the one from the Sun (central Newtonian), and the sails are assumed to be ideal reflectors. For a planar motion of an almost flat sail with negligible attitude control errors, the SSPT equations of motion are similar to those for a DRSPT. The analysis showed a better performance of SPT in terms of response time and the results are more pronounced for Earth-Venus transfer. It can be explained by the greater values of the transversal component of the acceleration developed by SSPT compared to FSS.

Then, we have the paper Alternative Transfers to the NEOs 99942 Apophis, 1994 WR12, and 2007 UW1 via Derived Trajectories from Periodic Orbits of Family G by C. F. Melo et al.. This paper explores the existence of a natural and direct link between low Earth orbits and the lunar sphere of the influence to get low-energy transfer trajectory to the three Near Earth Objects through swing-bys with the Moon. The existence of this link is related to a family of retrograde periodic orbits around the Lagrangian equilibrium point L1 predicted by the circular, planar, restricted three-body Earth-Moon-particle problem. Such orbits belong to the so-called Family G. The trajectories in this link are sensitive to small disturbances. This enables them to be conveniently diverted, reducing the cost of a swing-by maneuver. These maneuvers allow a gain in energy enough for the trajectories to escape from the Earth-Moon system and to be stabilized in heliocentric orbits between Earth and Venus or Earth and Mars. The result shows that the required increment of velocity by escape trajectories G is, in general, fewer than the ones required by conventional transfer (Patched-conic), between 2% up to 4%. Besides, the spacecraft velocities relative to the asteroids are also, in general, less than that value obtained by the conventional methods. In terms of the transfer time, the results show that in the Apophis and 1994WR12 it is possible to find Closest Point Approaches. The longest time always corresponds to the smallest relative velocity in Closest Point Approaches for trajectories G. Therefore, the trajectories G can intercept the Near Earth Objects orbits and, they can be a good alternative to design future missions destined to the Near Earth Objects.

After that, we have the paper Controlling the Eccentricity of Polar Lunar Orbits with Low-Thrust Propulsion by O. C. Winter et al.. This paper approaches the problem that lunar satellites in polar orbits suffer a high increase on the eccentricity, due to the gravitational perturbation of the Earth leading them to a collision with the Moon. Then, the control of the orbital eccentricity leads to the control of the satellite's lifetime. This paper introduces an approach in order to keep the orbital eccentricity of the satellite at low values. The method presented in the paper considers two systems: the 3-body problem, Moon-Earth-satellite and the 4-body problem, Moon-Earth-Sun-satellite. A system considering a satellite with initial eccentricity equals to 0.0001 and a range of initial altitudes, between 100 km and 5000 km, is considered. An empirical expression for the length of time needed to occur the collision with the Moon as a function of the initial altitude is derived. The results found for the 3-body model were not significantly different from those found for the 4-body model. After that, using low thrust propulsion, it is introduced a correction of the eccentricity every time it reaches the value 0.05.

Mechanical aspects of spacecrafts are considered in two papers. The first one is Internal Loading Distribution in Statically Loaded Ball Bearings Subjected to an Eccentric Thrust Load by M. C. Ricci. In this paper an iterative method is introduced to calculate internal normal ball loads in statically loaded single-row, angular-contact ball bearings, subjected to a known thrust load which is applied to a variable distance from the geometric bearing center line. Numerical examples are shown and compared with the literature. Fifty figures are presented and the results are discussed.

The other paper is The Determination of the Velocities after Impact for the Constrained Bar Problem by A. Fenili et al.. In this paper, a mathematical model for a constrained manipulator is studied. Despite the fact that the model is simple, it has all the important features of the system. A fully plastic impact is considered. Analytical expressions for the velocities of the bodies involved after the collision are derived and used for the numerical integrations of the equations of motion. The theory presented in the paper can be used to problems where the robots have to follow some prescribed patterns or trajectories when in contact with the environment.

One paper deals with the astronomical side of the space dynamics: Gravitational Capture of Asteroids by Gas Drag by E. Vieira-Neto and O. C. Winter. The orbital configuration of the irregular satellites, present in the giant planets system, suggests that these bodies were asteroids in heliocentric orbits that have been captured by the planets. Since this capture is temporary, it has been necessary a dissipative effect in order to turn this temporary capture into a permanent one. This paper deals with this problem by analyzing the effects of the gas drag, from the Solar Nebula, in the orbital evolution of these asteroids after they have being captured by the planets. The results show that, although this dissipative effect is important, it is not the only mechanism responsible for keeping the asteroids in a permanent orbit about the planet.

Then, we also have one paper studying the motion of a spacecraft when traveling in the atmospheric region of the space: Atmospheric Reentry Dynamics of Conic Objects by J. P. Saldia et al.. In this paper, the accurate determination of the aerodynamics coefficients is an important issue in the calculation of the reentry trajectories of an object inside the terrestrial atmosphere. The methodology to calculate these coefficients and how to include them in a code, in order to compute the reentry trajectories, is considered. As a result, a sample of trajectories of conical objects for different initial flight conditions is presented.

Acknowledgments

The guest editors would like to thank all the authors, the reviews, the Editor of the journal, and all the staff involved in the preparation of this issue for the opportunity to publish the articles related to this important subject.

Antonio F. Bertachini A. Prado
Maria Cecilia Zanardi
Tadashi Yokoyama
Silvia Maria Giuliatti Winter

Copyright

Copyright © 2009 Antonio F. Bertachini A. Prado et al. This is an open access article distributed under the Creative Commons Attribution License, which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.


Third-Body Perturbation in the Case of Elliptic Orbits for the Disturbing Body

This work presents a semi-analytical and numerical study of the perturbation caused in a spacecraft by a third-body using a double averaged analytical model with the disturbing function expanded in Legendre polynomials up to the second order. The important reason for this procedure is to eliminate terms due to the short periodic motion of the spacecraft and to show smooth curves for the evolution of the mean orbital elements for a long-time period. The aim of this study is to calculate the effect of lunar perturbations on the orbits of spacecrafts that are traveling around the Earth. An analysis of the stability of near-circular orbits is made, and a study to know under which conditions this orbit remains near circular completes this analysis. A study of the equatorial orbits is also performed.

1. Introduction

An extensive literature is dedicated to the question of the perturbation done by a third-body on the trajectory of a spacecraft. Sptizer [1] used the lunar theory of Hill-Brown to study the problem on the limited case of small eccentricities and inclinations between the disturbing and the disturbed bodies. Kozai [2] derived the principal secular and long-period terms of the disturbing function due to the lunisolar gravitational attractions and Musen [3] included the parallactic term in the disturbing function. Using methods of classical mechanics, only for the secular terms, Blitzer [4] got estimate for the lunisolar disturbances. In the following years, many authors studied this problem using the disturbing function, Lagrange planetary equations, and numerical approximations [5–11]. In the references presented, many results were obtained related to the perturbations of the third body on a small mass moving close to another body and showed important analytical contributions, because their results are concentrated in derivation of equations.

Recently, many works have been presented in the literature based on numerical methods. Broucke [12] calculated the general form of the disturbing function of the third body truncated after the term of second order in the expansion in Legendre polynomials. This research, published in 2003, described the problem of the third-body perturbation on a satellite in a simplified approximated model using double average over the short period of the satellite as well as with respect to the distant perturbing body [13]. The important reason for this is to eliminate the terms due to the short time periodic motion of the spacecraft and to show smooth curves for the evolution of the mean orbital elements for a long-time period. The perturbing body was in a circular orbit in the (

Prado and Costa [14] calculated the perturbing potential for order up to four in terms of the Legendre polynomials and later they extended the calculations to consider effects of up to order eight in the expansions in Legendre polynomials [15]. In Solórzano [16], the motion of the spacecraft is studied under the single-averaged analytical model with the disturbing function expanded in Legendre polynomials up to fourth order. The single average is taken over the mean motion of the satellite to eliminate short-period perturbations that appear in the trajectories. After that, the equations of motion are obtained from the planetary equations. Prado [17] studied this problem under the double-averaged analytical model with the disturbing function expanded in Legendre polynomials up to fourth order and the full restricted problem. The double average is taken over the mean motion of the satellite and over the mean motion of the disturbing body.

We noticed in the literature that few general expressions for calculations of the perturbing body have been done for cases of elliptic orbits [18–20]. There are no formulations that explicitly include the eccentricity of the disturbing body.

In the present work, we expanded the study done by Broucke [13], and Prado [17], including the eccentricity of the perturbing body. The double-averaged analytical model with the disturbing function expanded in Legendre polynomials up to second order. Our purpose was to study the stability of orbits of a massless spacecraft in a near-circular three-dimensional orbit around a central body with mass

, and a second body with mass

in an elliptic orbit around this same central body in the plane

This paper is structured as follows. In Section 2, we present the equations of motion used for the numerical simulations. Section 3 is devoted to the analysis of the numerical results of near-circular orbits. The theory developed here is used to study the behavior of a spacecraft around the Moon, where the Earth is the disturbing body. Several plots show the time histories of the Keplerian elements of the orbits involved. Our final comments are presented in Section 4.

2. Equations of Motion

In this section, we present the equations of motion obtained from the mathematical models used in this research. It is assumed that the main body with mass is fixed in the center of the reference system . The perturbing body, with mass , is in an elliptic orbit with semimajor axis

). The massless spacecraft is in a generic two-dimensional orbit which orbital elements are (semimajor axis), (eccentricity),

(longitude of the ascending node), and (mean motion) given by the expression . This system is showen in Figure 1. Here, is the gravitational constant,

and are the radius vectors of bodies and , and

is the angle between these radius vectors.


Using the traditional expansion in Legendre polynomials (assuming that

), the disturbing potential is given by [21]

is the gravitational constant, are the Legendre polynomials, and is the central elongation between the perturbed body (the spacecraft) and the perturbing body (the second body).

The terms and are not included in (2.1). The part of the disturbing function due to the second body is given by

is the true anomaly of the satellite, is the unit vector pointing from the central body to the disturbing body, all of them functions of and (true anomaly and argument of the periapsis of the disturbing body, resp.). The usual orthogonal unit vectors and are functions of , , and in the plane of the satellite orbit, with pointing toward the periapsis. For the case of elliptic orbits the products and are written as

A substitution using (2.3) was made in (2.2). Then we have

Now we need to average those quantities over the short period of the satellite motion as well as with respect to the distant perturbing body. The standard definition for average used is

where is the mean anomaly that is proportional to time.

The averages are realized in terms of the eccentric anomaly, and then it is necessary to replace the true anomalies and by the eccentric anomalies

and . To do this task, we use some well-known relations from the Celestial Mechanics [21] given by the following equations:

Using those equations, we can obtain the following relations:

After using those equations, the disturbing potential averaged over the eccentric anomaly that the spacecraft has from the action of the disturbing body becomes

The next step is to obtain the second average with respect to the disturbing body. To do this, we considered the Keplerian elements of the spacecraft constant during the process of averaging [17]. Thus we obtain

After performing these averages for the perturbed and perturbing bodies, the equation obtained from the double-averaged disturbing function is

The partial derivatives of with respect to and can thus be written as

Now we need to quantify the resulting variations in these four orbital elements of the perturbed body. To obtain this, we will derive Lagrange's planetary equations. The results are given by

Analyzing these equations of motion, it can be noticed the following (see [13, 17]).

(i) is constant during the integration. (ii) All the results based on these equations are valid for any semimajor axis (i.e., present in the equations in terms of ) and system of primaries in a proportional time scale. (iii) Here we have a system of three simultaneous ordinary differential equations. They contain essentially the variables , and . (iv) The equation for the longitude of the ascending node depends on the variables , and but it does not influence their motion. (v) When and/or there are no variations on the inclination and eccentricity, and the orbit remains circular and/or planar. These circular solutions with constant inclination appear due to the truncation of the expansion of the disturbing function and are not a physical phenomenon. Although no variations for the eccentricity and inclination are obtained, in a real case (full restricted three-body problem), the circular solutions with constant inclination do not exist. The eccentricity can oscillate with large amplitude that depends on the value of the initial eccentricity. (vi) For the eccentricity of the spacecraft, we can see immediately that it increases with , which can be explained by the decrease of the minimum distance between the primaries. Thus, the perturbations for an orbiting spacecraft are maximum when the secondary body is near the pericenter of its orbit. Analyzing the equations, we have that, when is different from zero, increases by a scale factor of . It is also interesting to notice that, when the eccentricity increases, there is a decrease in the inclination. (vii) In every equation, appears the term that is an approximation of the mean value of the function that is given by . This approximation can reduce the accuracy of the numerical results. In Figure 2 there are two curves that show the evolutions of (solid curve) and its mean value (dashed line) as a function of the value of . Analyzing this figure, we can see that there is a tendency to diverge when the value increases, but they have a good agreement for small values of . (viii) A pseudo-time can be introduced in the equations by the expression

where is the period of the oscillation in the circular model and is the period of oscillation when the value of is considered. In this way, we have , which means that the period of oscillations decreases when the eccentricity of the disturbing body increases.


Voir la vidéo: Fonctions dérivé - nombre dérivé (Janvier 2022).